Senin, 21 September 2015

penerapan INTEGRAL dalam bidang Teknik



Penerapan Integral Dalam Bidang Ilmu Keteknikan
            Integral merupakan salah satu bab bahasan di dalam ilmu Matematika. Pengertian integral sendiri merupakan kebalikan dari proses diferensiasi. Integral ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah  Terdapat dua macam integral, yaitu integral tak tentu dan integral tertentu. Perbedaan antara keduanya ialah integral tertentu memiliki batas atas dan batas bawah sedangkan Integral tertentu biasanya dipakai untuk mencari volume benda putar dan luas.
Pada umumnya ilmu integral ini dapat bermanfaat dalam berbagai bidang ilmu, seperti bidang ekonomi, teknologi, fisika dan matematika (keteknikan) pula. Oleh sebab itu, dalam postingan kali ini saya akan sedikit memaparkan mengenai manfaat dan penerapan ilmu integral khususnya di dalam bidang keteknikan.
Sedikit saya jelaskan beberapa kegunaan aplikasi integral yang berkaitan dengan bidang ilmu lain, antara lain :
Ekonomi :
Mencari fungsi asal dari fungsi marginalnya (fungsi turunannya), mencari fungsi biaya total, mencari fungsi penerimaan total dari fungsi penerimaan marginal, mencari fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal, fungsi tabungan dari fungsi tabungan marginal, fungsi kapital dari fungsi investasi.
Teknologi :
Penggunaan laju tetesan minyak dari tangki untuk menentukan jumlah kebocoran selama selang waktu tertentu, Penggunaan kecepatan pesawat ulang alik Endeavour untuk menentukan ketinggian maksimum yang dicapai pada waktu tertentu, Memecahkan persoalan yang berkaitan dengan volume, panjang kurva, perkiraan populasi, keluaran kardiak, gaya pada bendungan, usaha.
Fisika :
analisis rangkaian listrik arus AC, analisis medan magnet pada kumparan, analisis gaya-gaya pada struktur pelengkung.
Matematika (Teknik) :
menentukan luas suatu bidang, menentukan volume benda putar, menentukan panjang busur.
Di dalam bidang matematika teknik integral dapat berguna untuk mencari volume benda putar suatu benda.  Contoh kasus yang berhubungan dengan penggunaan integral dalam mencari volume benda putar dapat dilihat seperti berikut :
Contoh kasus :
Pada suatu hari, Supri sedang memanen blueberry kemudian dia megambil sebuah tong blueberry. Supri kemudian penasaran untuk menghitung volume tong tersebut agar ia bisa memperkirakan kira-kira berapa tong blueberry yang akan dia bawa. Kemudian ia teringat akan akan pelajaran kalkulus yang ia dapatkan pada saat kuliah . Supri kemudian mengukur tong tersebut. Data yang didapat supri dari mengukur tong tersebut ialah jari-jari atas dan bawah tong adalah 30 cm dan jari-jari tengah 40 cm, serta tinggi tong adalah 1 m. Setelah itu, kemudian Supri menghitung volume tong tersebut.
Jawaban :
Hal pertama yang dilakukan Supri ialah meletakkan tong pada sisinya. Hal ini berguna untuk membuat suatu perhitungan aljabar. Pada perhitungan ini Supri menggunakan dasar rumus Integral Tentu untuk mencari volume tong blueberry tersebut. Rumus Integral tentu adalah :
kemudian Supri menemukan persamaan parabola dengan titik di (0,40) dan melalui (50,30).
Dan menggunakan rumus:
(x – h) 2 = 4 a (y – k)
Sekarang (h, k) adalah (0, 40) sehingga akan didapatkan :
(x – h) 2 = 4 a (y – k)
(x – 0) 2 = 4 a (y – 40)
2x = 4 a (y – 40) dan parabola melewati (50, 30), sehingga
(50) 2 = 4 a (30 – 40)
2500 = 4 a (-10) dan 4 a = -250
Jadi persamaan sisi barel
2x = -250 (y – 40)  yaitu,
y = – 2x / 250 + 40
kemudian mencari volume tong yang dihasilkan ketika kita memutar parabola antara x = -50 dan x = 50 sekitar sumbu x-.
Maka di dapat perhitungan Integral sebagai berikut :
Jadi , didapat volume tong blueberry yang didapatkan Supri dengan menggunakan perhitungan integral yaitu  425,2 L.
Share this:

Khoiriah Hadi Ningsih

Kumpulan tugas seorang mahasiswa

Sabtu, 02 April 2011

Aplikasi Turunan

APLIKASI TURUNAN PADA ILMU EKONOMI, FISIKA, DAN ILMU LAINNYA

Turunan atau Diferensial merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang digunakan untuk menyatakan hubungan kompleks antara satu variabel tak bebas dengan satu atau beberapa variabel bebas lainnya. Turunan ini telah berkembang sejak zaman Sir Isaac Newton dan Leibniz. Newton mengembangkan turunan secara umum ke bidang fisika, sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang.

Aplikasi turunan pada ilmu ekonomi
Tinjaulah sebuah perusahaan PT. NOM. Jika NOM menjual x satuan barang tahun ini, NOM akan mampu membebankan harga, p(x) untuk tiap satuan. Kita tunjukkan bahwa p bergantung pada x karena bilamana NOM akan perlu mengurangi harga tiap satuan agar dapat menjual seluruh hasil keluarannya. Pendapatan total yang dapat diharapkan NOM diberikan oleh R(x) = xp(x), jumlah satuan kali tiap harga satuan.
Untuk memproduksi dan memasarkan x satuan, NOM akan mempunyai biaya total, C(x). Ini biasanya berupa jumlah dari biaya tetap (keperluan kantor, pajak bangunan dsb) ditambah biaya tidak tetap, yang secara langsung bergantung pada banyaknya satuan yang diproduksi. Konsep dasar untuk sebuah perusahaan adalah total laba, p(x). Laba adalah selisih antara pendapatan dan biaya, yakni
P(x) = R(x) – C(x) = xp(x) – C(x)
Umumnya, sebuah perusahaan berusaha memaksimumkan total labanya.
Hal yang harus diperhatikan adalah perlunya membedakan masalah ekonomi dengan masalah fisika. Pada dasarnya, suatu produk akan berupa satuan-satuan diskrit (Anda tidak dapat membuat atau menjual 0,23 pesawat televisi atau π aki mobil. Jadi, fungsi R(x), C(x), dan P(x) pada umumnya didefinisikan hanya untuk x = 0, 1, 2, … . Hal ini menggambarkan salah satu aspek dari pemodelan matematika yang hampir selalu diperlukan, terutama dalam ilmu ekonomi. Untuk membuka model dari suatu masalah yang nyata dijumpai, kita harus menyederhakan beberapa anggapan. Ini berarti bahwa jawaban yang kita peroleh hanya menghampiri jawaban yang kita cari salah satu alasan bahwa ekonomi merupakan ilmu yang sedikit kurang sempurna. Seorang ahli statistik terkenal mengatakan : “Tidak ada model yang akurat, tapi banyak model yang bermanfaat.”
Suatu masalah yang berkaitan bagi seorang pakar ekonomi adalah bagaimana mendapatkan rumus untuk fungsi-fungsi C(x) dan p(x). Dalam hal yang sederhana, C(x) dapat berbentuk
C(x) = 10.000 + 50x
Jika demikian, Rp10.000,00 merupakan biaya tetap dan Rp.50x,00 merupakan biaya tidak tetap, berdasarkan pada biaya langsung Rp.50,00 untuk setiap sauna yang diproduksi. Barangkali contoh yang lebih umum adalah :
C(x)=10.000+45x+100√x
Perhatikanlah bahwa dalam kasus ini rata-rata biaya tidak tetap tiap satuan adalah :
(45x+100√x)/x=45+100/√x
Suatu nilai yang berkurang apabila x bertambah (efisiensi dari besarnya produksi).
Pemilihan fungsi-fungsi biaya dan harga yang sesuai merupakan tugas yang tidak jelas . Kadangkala keduanya dapat ditentukan dari anggapan-anggapan dasar. Dalam kasus lain, kajian cermat tentang pengalaman perusahan akan menyarankan pilihan-pilihan yang layak. Kadang-kadang kita harus melakukannya hanya dengan pikiran saja.
Penggunaan kata marjinal. Andaikan NOM mengetahui funsi biayanya C(x) dan untuk sementara merencanakan memproduksi 2000 satuan tahun ini. Direktur utama Toko Buku Karisma ingin menetapkan biaya tambahan tiap satuan jika NOM memperbesar produksinya sedikit. Misalnya, apakah itu akan kurang dari pendapatan tambahan tiap satuan? Jika demikian, akan merupakan pertimbangan ekonomi yang baik untuk memperbesar produksinya.
Direktur Utama Toko Buku Karisama menanyakan nilai ∆C/∆x pada saat ∆x=1. Tetapi kita mengharapkan bahwa ini sangat dekat terhadap nilai
lim
(∆x→0)〖∆C/∆x〗
Pada saat x = 2000, ini disebut biaya marjinal. Kita para matematikawan mengenalnya sebagai dC/dx, turunan C terhadap x.
Dengan cara yang serupa, kita definisikan harga marjinal sebagai dp/dx, pendapatan marjinal sebagai dR/dx, dan laba marjinal sebagai dP/dx.
Penerapan Turunan parsial dalam bidang ekonomi antara lain digunakan untuk menghitung fungsi produksi, konsep elastisitas, angka pengganda, optimisasi tanpa kendala, dan optimisasi dengan kendala (fungsi lagrange).

Aplikasi turunan pada fisika

Di fisika, turunan dari perpindahan benda terhadap waktu adalah kecepatan benda, dan turunan dari kecepatan terhadap waktu adalah percepatan. Hukum gerak kedua Newton menyatakan bahwa turunan dari momentum suatu benda sama dengan gaya yang diberikan kepada benda. Contoh historik lainnya adalah penggunaan Matematika di hukum gerak Newton, diekspresikan dengan laju perubahan yang merujuk pada turunan: Laju perubahan momentum dari sebuah benda adalah sama dengan resultan gaya yang bekerja bada benda tersebut dengan arah yang sama.
Turunan Parsial yang mempunyai aplikasi luas dalam bidang sains dan teknik, digunakan untuk memecahkan masalah kompleks. turunan parsial, biasanya ditandai dengan ∂y/∂x. Turunan Parsial, Turunan Fungsi Terhadap Fungsi, Turunan Total sering digunakan di setiap cabang sains fisik, sains komputer, statistik, teknik, ekonomi, bisnis, kedokteran, kependudukan, dan di bidang-bidang lainnya.
Turunan Parsial di Bidang fisika bisa dicontohkan sebuah benda yaitu Bandul yang diikat menggunakan tali yang dicantolkan di ujung pegas.. Lalu bandul itu digerakkan kesamping dan membentuk sudut tertentu sesuai arah gerakkannya. Setelah itu, amati getaran pada bandul itu saat berayun.
Cara mendapatkan persamaan gerak dari system ini dengan cara newtonian dan lagrangian, cara newtonian dengan cara dibuat vektor satuan x, y, z dengan gaya yang mengikutinya, sedangkan lagrangian dicari energi kinetik dan potensialnya.
Berikut ini adalah contoh turunan parsial yang menggunakan 3 variabel. Dalam bidang fisika saya ambil contoh rumus jarak yang ditempuh oleh benda yaitu: y = ½gx2+v0x+y0 dimana y0 menyatakan jarak awal dari titik 0. Apabila rumus ini diturunkan menjadi turunan yang pertama y’ = dy/dx, maka akan menjadi y= gx+v0, dimana v0 menyatakan kecepatan awal. Rumus ini masih bisa diturunkan menjadi turunan yang kedua yaitu d2y/dx2, menjadi y=g (konstan), sehingga menjadi rumus percepatan, dimana jika suatu benda dijatuhkan dari ketinggian tertentu di atas permukaan bumi.
Sehingga kita dapat mengetahui bahwa dengan turunan parsial, kita dapat membuktikan rumus-rumus dari turunan sebelumnya. Seperti rumus diatas dari rumus jarak,hingga dapat rumus percepatan. Rumus-rumus itu didapat hanya dari satu rumus saja.
Dengan demikian turunan parsial dibilang sebagai hubungan yang mengaitkan suatu fungsi dengan turunan-turunannya melalui variabel-variabel yang dimaksud.

Aplikasi turunan dalam dunia farmasi
Aplikasi turunan gak akan jauh dari mencari titik maksimum/minimum dari suatu fungsi. Misalnya kalau ada fungsi yang bisa menggambarkan bioavailabilitas obat di dalam darah berdasarkan waktu, dengan turunan bisa dicari kapan bioavailabilitas maksimum/minimum didapat setelah obat diminum/disuntikkan.

Minggu, 18 November 2012

Contoh Makalah Penerapan Differensial Pada Pemrograman Komputer

BAB I
PENDAHULUAN
1.1.  Latar Belakang
Berbagai aplikasi yang telah kita gunakan pada masa sekarang ini adalah salah satu peranan matematika terhadap perkembangan teknologi informasi. Tanpa dasar-dasar dari matematika, maka penemu, penggagas serta pembuat program akan sangat kesulitan dalam menemukan ide-ide ke arah aplikasi yang canggih dengan dibantu dengan peralatan yang modern.
Teknologi yang berkembang saat ini menunjukkan bahwa telah banyak penerapan dari matematika dalam pengembangan ilmu di bidang lain.

1.2.  Tujuan
Penulisan makalah ini bertujuan untuk menentukan nilai gaya konservatif dengan metode beda sentral serta penyelesaian melalui pemograman dengan bahasa C++ di dalam mempelajari fisika komputasi.
1.3.  Rumusan Masalah
1.  Menjelaskan diferensial dengan metode beda sentral.
2.  Menerapkan diferensial dalam beberapa kasus pada fisika dan penyelesaian.

1.4.  Metode Penulisan

Materi ini mencakup penjelasan seberapa jauh kita  dapat menganalisa pengertian dari diferensial numerik pada fisika komputasi dengan mengaplikasikan setiap bidang dalam pengertian penjelasan turunan beda sentral dengan detail dan jelas. Diferensial numerik dengan penjelasan lebih khusus sehingga lebih dapat dimengerti karena dijelaskan dengan rinci untuk memperoleh hasil yang memuaskan. Metode yang dipergunakan pada pembuatan makalah ini Studi Pustaka yaitu dengan membaca buku-buku yang berkaitan dengan penulisan makalah ini. Selain itu, dalam pembuatan makalah ini penulis juga mendapatkan bahan dari internet.


BAB II
PEMBAHASAN
.               Salah satu contoh penerapan ilmu komputer yang digunakan untuk pengembangan di berbagai bidang adalah Persamaan Diferensial Elementer. Persamaan Diferensial Elementer membahas mengenai bagaimana persamaan diferensial digunakan atau dimanfaatkan dalam memecahkan suatu masalah dalam kehidupan sehari-hari.
Contoh kasus yang sering dijumpai seperti pada gaya pegas. Gaya pegas sangat dibutuhkan untuk kegiatan-kegiatan dalam bidang pembangunan maupun bidang teknik. Persamaan diferensial dari gaya pegas ini kemudian dijadikan sebuah persamaan matematika dalam bentuk simbol dan rumus sehingga perhitungan dari gaya pegas ini menjadi lebih mudah dan cepat. Pada bagian inilah persamaan diferensial elementer sangat berperan dalam mengubah suatu persamaan persamaan diferensial dan menyelesaikannya ke dalam bentuk persamaan linear atau yang lebih dikenal adalah persamaan tersebut menjadi sebuah rumus. Oleh karena itu, persamaan diferensial yang termasuk dalam ilmu matematika ini menjadi sangat penting untuk dipelajari tidak hanya dalam ilmu matematika saja tetapi juga dalam ilmu-ilmu yang lain.
penerapan diferensial pada komputer
Awal mula komputer yang sebenarnya dibentuk oleh seorang profesor matematika Inggris,Charles Babbage (1791-1871). Tahun 1812,Babbage memperhatikan kesesuaian alam antara mesin mekanik dan matematika yaitu mesin mekanik sangat baik dalam mengerjakan tugas yang sama berulangkali tanpa kesalahan,sedang matematika membutuhkan repetisi sederhana dari suatu langkah-langkah tertentu.Masalah tersebut kemudain berkembang hingga menempatkan mesin mekanik sebagai alat untuk menjawab kebutuhan mekanik.Usaha Babbage yang pertama untuk menjawab masalah ini muncul pada tahun 1822 ketika ia mengusulkan suatu mesin untuk melakukanperhitungan persamaan differensial.Mesin tersebut dinamakan Mesin Differensial.Dengan menggunakan tenaga uap,mesin tersebut dapat menyimpan program dan dapat melakukan kalkulasi serta mencetak hasilnya secara otomatis.

Setelah bekerja dengan Mesin Differensial selama sepuluh tahun,Babbage tiba-tiba terinspirasi untuk memulai membuat komputer general-purpose yang pertama,yang disebut Analytical Engine.Asisten Babbage,Augusta Ada King (1815-1842) memiliki peran penting dalam pembuatan mesin ini.Ia membantu merevisi rencana,mencari pendanaan dari pemerintah Inggris,dan mengkomunikasikan spesifikasi Analytical Engine kepada publik.Selain itu,pemahaman Augusta yang baik tentang mesin ini memungkinkannya membuat instruksi untuk dimasukkan ke dalam mesin dan juga membuatnya menjadi programmer wanita yang pertama.Pada tahun 1980,Departemen Pertahanan Amerika Serikat menamakan sebuah bahasa pemrograman dengan nama ADA sebagai penghormatan kepadanya.

Mesin uap Babbage,walaupun tidak pernah selesai dikerjakan,tampak sangat primitif apabila dibandingkan dengan standar masa kini.Bagaimanapun juga,alat tersebut menggambarkan elemen dasar dari sebuah komputer modern dan juga mengungkapkan sebuah konsep penting.Terdiri dari sekitar 50.000 komponen,disain dasar dari Analytical Engine menggunakan kartu-kartu perforasi (berlubang-lubang) yang berisi instruksi operasi bagi mesin tersebut.

Pada Tahun 1889,Herman Hollerith (1860-1929) juga menerapkan prinsip kartu perforasi untuk melakukan penghitungan.Tugas pertamanya adalah menemukan cara yang lebih cepat untuk melakukan perhitungan bagi Biro Sensus Amerika Serikat.Sensus sebelumnya yang dilakukan di tahun 1880 membutuhkan waktu tujuh tahun untuk menyelesaikan perhitungan.Dengan berkembangnya populasi,Biro tersebut memperkirakan bahwa dibutuhkan waktu sepuluh tahun untuk menyelesaikan perhitungan sensus.

Hollerith menggunakan kartu perforasi untuk memasukkan data sensus yang kemudian diolah oleh alat tersebut secara mekanik.Sebuah kartu dapat menyimpan hingga 80 variabel.Dengan menggunakan alat tersebut,hasil sensus dapat diselesaikan dalam waktu enam minggu.Selain memiliki keuntungan dalam bidang kecepatan,kartu tersebut berfungsi sebagai media penyimpan data.Tingkat kesalahan perhitungan juga dapat ditekan secara drastis.Hollerith kemudian mengembangkan alat tersebut dan menjualnya ke masyarakat luas.Ia mendirikan Tabulating Machine Company pada tahun 1896 yang kemudian menjadi International Business Machine (1924) setelah mengalami beberapa kali merger.Perusahaan lain seperti Remington Rand and Burroghs juga memproduksi alat pembaca kartu perforasi untuk usaha bisnis.Kartu perforasi digunakan oleh kalangan bisnis dan pemerintahan untuk permrosesan data hingga tahun 1960.

Pada masa berikutnya,beberapa Insinyur membuat penemuan baru lainnya.Vannevar Bush (1890-1974) membuat sebuah kalkulator untuk menyelesaikan persamaan differensial di tahun 1931.Mesin tersebut dapat menyelesaikan persamaan differensial kompleks yang selama ini dianggap rumit oleh kalangan akademisi.Mesin tersebut sangat besar dan berat karena ratusan gerigi dan poros yang dibutuhkan untuk melakukan perhitungan.Pada tahun 1903,John V. Atanasoff dan Clifford Berry mencoba membuat komputer elektrik yang menerapkan aljabar Boolean pada sirkuit elektrik.Pendekatan ini didasarkan pada hasil kerja George Boole (1815-1864) berupa sistem biner aljabar,yang menyatakan bahwa setiap persamaan matematik dapat dinyatakan sebagai benar atau salah.Dengan mengaplikasikan kondisi benar-salah ke dalam sirkuit listrik dalam bentuk terhubung-terputus,Atanasoff dan Berry membuat komputer elektrik pertama di tahun 1940.Namun proyek mereka terhenti karena kehilangan sumber pendanaan.

Pada makalah ini dibahas konsep fisika komputasi sebagai bagian diferensial sains modern, yang memadukan antara solusi analitik, intuisi fisika dan komputasi numerik di dalam menjelaskan berbagai fenomena fisika. Dilengkapi dengan materi – materi dasar yang saling berkaitan sebagai pemahaman awal didalam mempelajari fisika komputasi.


Komputasi (computation) adalah bagian integral sains modern dengan kemampuan eksploitasi ‘kekuatan’ komputer secara efektif di dalam aktivitas ilmuwan. Ditinjau dari aspek proses, komputasi adalah kegiatan mendapatkan penyelesaian atau solusi atas persoalan yang dinyatakan dalam model matematis.
Ilmu pengetahuan dan pemahaman adalah prasyarat agar implementasi komputasi numerik efektif. Ilmu pengetahuan bisa dipelajari dari analisa teori dan pemahaman bisa diperoleh dari pengalaman empiris, yaitu observasi dan eksperimen.

2.1 Diferensial
            Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan-turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui, yang disebut dengan f(x).  Persamaan diferensial muncul dalam berbagai bidang
sains dan teknologi, bilamana hubungan deterministik yang melibatkan besaran yang berubah secara kontinu atau dimodelkan oleh fungsi matematika dan laju perubahan dinyatakan sebagai turunan diketahui atau dipostulatkan. Ini terlihat misalnya pada mekanika klasik, dimana gerakan sebuah benda diperikan oleh posisi dan kecepatannya terhadap waktu. Hukum Newton memungkinkan untuk mengetahui hubungan posisi, kecepatan, percepatan dan berbagai gaya yang bertindak terhadap benda tersebut dan menyatakan sebagai persamaan diferensial posisi sebagai fungsi waktu. Dalam banyak kasus, persamaan diferensial ini dapat dipecahkan secara eksplisit, dan menghasilkan hukum gerak.
Diferensial atau sering disebut turunan dapat dihitung dengan memakai uraian deret Taylor. Jika uraian deret Taylor di sekitar x dinyatakan dengan  dan . Dimana masing-masing dinyatakan dengan persamaan:  
2.1.1. Turunan Pertama
            Jika kita mengambil selisih antara kedua persamaan (2.1) dan persamaan (2.2) maka akan didapatkan:
                              (2.3)
Dari persamaan (2.3) jika mengambil nilai h yang sangat kecil maka suku-suku dengan h pangkat dua atau lebih bisa diabaikan.
Sehingga akan didapatkan persamaan Turunan Pertama dari suatu fungi f(x) yaitu:
                                                    (2.4)
2.1.2. Turunan Kedua
            Untuk mendapatkan Turunan Kedua dari fungsi f(x) maka kita menjumlahkan kedua persamaan  dan  dalam persamaan (2.1) dan persamaan (2.2). sehingga didapatkan persamaan yaitu:
                             (2.5)
Bila h sangat kecil maka suku dengan h pangkat dua atau lebih bisa diabaikan. Sehingga akan didapatkan persamaan Turunan Kedua dari f(x) yaitu:
                                                  (2.6)
Kedua metode untuk mencari turunan diatas disebut dengan metode Beda Sentral (central difference). 
2.2. Aplikasi penerapan diferensial dengan metode beda sentral dalam fisika
Dalam satu dimensi, sebuah gaya konservatif sama dengan negatif turunan fungsi energi potensial yang terkait:

Carilah gaya Fx yang berhubungan dengan fungsi energi potensial  , dengan A adalah sebuah konstanta. Dimana A bernilai 3 dan h = 0,05.
Penyelesaian:
Jika ,
·     Maka secara analisa diperoleh penyelesaian sebagai berikut :




Secara analisis diperoleh gaya konservatif adalah .
·     Jika dihitung melalui diferensial biasa maka diperoleh penyelesaian untuk menentukan gaya konservatif adalah :




Sehingga diperoleh bahwa dalam penyelesaian secara analisa maupun secara diferensial biasa dihasilkan nilai yang sama yaitu gaya konservatif adalah .

BAB III
PENUTUP

3.1  Kesimpulan   
Makalah mengenai diferensial dengan metode beda sentral mempunyai beberapa kesimpulan sebagai berikut:
1.  Diferensial atau sering disebut turunan dapat dihitung dengan memakai uraian deret Taylor.  
2.  Masalah diferensiasi adalah penentuan nilai pendekatan atau hampiran untuk turunan suatu fungsi f .   
3.  Penyelesaian diferensial secara analisa dengan metode beda sentral maupun secara diferensial biasa dihasilkan nilai yang sama yaitu gaya konservatif adalah.   

3.2     Saran
Berdasarkan uraian diatas, ada beberapa saran yang dapat disampaikan seperti penyusunan  makalah  Fisika Komputasi I tentang “ Diferensial dengan metode beda sentral”. Dengan metode-metode yang telah ditentukan masih jauh dari kesempurnaan untuk memperlengkap makalah Fisika Komputasi I ini. Dapat disarankan agar dilakukan pengembangan program lebih lanjut, misalnya antara lain sebagai berikut.
1.  Memvisualisasikan solusi persamaan diferensial numerik dalam pemograman.
2.  Mengembangkan program ini sehingga dapat dihasilkan visualisasi solusi persamaan diferensial numerik untuk jumlah waktu update yang lebih besar. 
Dengan demikian, penyusun sangat mengharapkan agar pembaca dapat memahami  makalah ini agar kedepannya dapat bermanfaat dan lebih menerapkan “diferensial beda sentral”  dalam kehidupan sehari-hari.    


DAFTAR PUSTAKA

Tipler. 1991. Fisika untuk Sains dan Teknik Jilid I (terjemahan). Jakarta: Erlangga
Widagda, IGA. S.Si. MKom. 2006. Fisika Komputasi. Denpasar: Universitas Udayana Fakultas MIPA Jurusan Fisika.
www. Google.com        
YAM'zA 03.10

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar

Arsip Blog

Mengenai Saya











1.Transformasi



1.    TRANSLASI (Pergeseran sejajar)
Sifat-Sifatnya :
a)       Objek yang digerakkan arahnya sama
b)       Ukuran dan bentuk dengan Objek asal sama
c)       Objek dan imej menghadap arah yang sama
d)       Pada suatu translasi setiap bangunnya tidak berubah. 
2.      REFLEKSI (Pencerminan terhadap garis)

Sifat Sifatnya :
a.    Ciri khas suatu matriks Refleksi adalah determinannya = -1
b.    Dua refleksi berturut-turut terhadap sebuah garis merupakan suatu identitas, artinya yang direfleksikan tidak berpindah.
c.    Pengerjaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang sejajar, menghasilkan translasi (pergeseran) dengan sifat:
·         Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua kali jarak kedua sumbu pencerminan.
·         Arah translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar, dari sumbu pertama ke sumbu kedua. Refleksi terhadap dua sumbu sejajar bersifat tidak komutatip.
d.    Pengerjaaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus, menghasilkaan rotasi (pemutaran) setengah lingkaran terhadap titik potong dari kedua sumbu pencerminan. Refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lures bersifat komutatif.
e.    Pengerjaan dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang berpotongan akan menghasilkan rotasi (perputaran) yang bersifat:
·         Titik potong kedua sumbu pencerminan merupakan pusat perputaran.
·         Besar sudut perputaran sama dengan dua kali sudut antara kedua sumbu pencerminan.
·         Arah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua.
       3.  ROTASI (Perputaran dengan pusat 0)

Sifat-Sifatnya :
a.    Ciri khas suatu matriks Rotasi adalah determinannya = 1
b.    Dua rotasi berturut-turut mempakan rotasi lagi dengan sudut putar dsama dengan jumlah kedua sudut putar semula.
c.    Pada suatu rotasi, setiap bangun tidak berubah bentuknya.
              4.DILATASI (Perbesaran terhadap pusat 0) 

(0, k) merupakan perbesaran atau pengecilan dengan tergantung dari nilai k.

Jika A' adalah peta dari A, maka untuk:
a. k > 1 
® A' terletak pada perpanjangan OA
b. 0 < k < 1 
® A' terletak di antara O dan A
c. k > 0 
® A' terletak pada perpanjangan AO


Sifat-Sifatnya :
a.       berdasarkan atas faktor skala yang disimbolkan dengan "k"
b.      apabila k : -1 < k< 0 maka garis tersebut di perkecil dengan arah berlawanan
c.       apabila k : k < -1 maka garis tersebut diperbesar dengan arah berlawanan
d.      apabila k bernilai + maka garis tersebut diperbesar searah
Diposkan 4th December 2012 oleh bryan thosuly
0

Tambahkan komentar


4

Barisan Dan Deret

1. Bilangan cacah
Bilangan cacah merupakan suatu bilangan bulat positif yang harus diawali dari angka 0 (nol)
hingga tak terhingga, contohnya: 0, 1, 2, 3, 4, 5,6,7,8,9,10
2. Bilangan asli
Bilangan asli merupakan suatu bilangan bulat positif yamg harus diawali dari angka1 (satu) hingga
tak terhingga, contohnya: 1, 2, 3, 4, 5,6,7,8,9,10
3. Bilangan genap
Bilangan genap merupakan suatu bilangan yang habis dibagi dua.
 contohnya: 2,4,6,8,10

4. Bilangan ganjil
Bilangan ganjil merupakan suatu bilangan yang jika dibagi dua maka bersisa 1.
Contohnya: 1,3,5,7,9

5. Bilangan Prima
Bilangan prima merupakan suatu bilangan yang tepat punya 2 faktor, yaitu bilangan 1 (satu) dan
dengan bilangan itu sendiri, contohnya: 2, 3, 5, 7

6. Bilangan Komposit
Bilangan komposit merupakan bilangan yang bukan 0 (nol), juga bukan 1, dan bukan juga bilangan
Prima, contohnya: 4, 6, 8, 9 , 10

7. Bilangan persegi
pola bilangan persegi bisa disebut juga dengan pola bilangan kuadrat.
pola ini mempunyai rumus kuadrat dari suku itu sendiri.
Contohnya: 1.4.9

8. Bilangan segitiga
Bilangan segitiga adalah pola bilangan yg dapat di susun seperti bentuk segitiga dg barisan bilangan seperti:
baris pertama: 1 = 1
baris kedua : 3 = 1 + 2
baris ketiga : 6 = 1 + 2 + 3
baris keempat: 10 = 1 + 2 + 3 + 4
Baris kelima : 15 = 1+2+3+4+5
Baris keenam : 21 = 1+2+3+4+5+6
Baris ketujuh : 28 = 1+2+3+4+5+6+7
Baris kedelapan : 36 = 1+2+3+4+5+6+7+8
Baris kesembilan 45 = 1+2+4+4+5+6+7+8+9
Baris kesepuluh = 55 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
Diposkan 4th December 2012 oleh bryan thosuly
0

Tambahkan komentar


9

ALJABAR

   Penemu Aljabar adalah Abu Abdullah Muhammad Ibn Musa al-KhwarizmiAljabar berasal dari Bahasa Arab "al-jabr" yang berarti "pertemuan""hubungan" atau "penyelesaian" adalah cabang matematika yang dapat dicirikan sebagai generalisasi dari bidang aritmatika. Aljabar juga merupakan nama sebuah struktur aljabar abstrak, yaitu aljabar dalam sebuah bidang.



Jenis-jenis Aljabar

Aljabar dapat dipilah menjadi kategori berikut:
§  Aljabar dasar, yang mencatat sifat-sifat operasi bilangan rill, menggunakan simbol sebagai "pengganti" untuk menandakan konstanta dan variable, dan mempelajari aturan tentang ungkapan dan persamaan matematis yang melibatkan simbol-simbol tersebut.
§  Aljabar abstrak, yang secara aksiomatis mendefinisikan dan menyelidiki struktur aljabar seperti kelompok matematika, cincin matematika dan matematika bidang.
§  Aljabar linear, yang mempelajari sifat-sifat khusus ruang vektor (termasuk matriks).
§  Aljabar universal, yang mempelajari sifat-sifat yang dimiliki semua struktur aljabar.
§  Aljabar komputer, yang mengumpulkan manipulasi simbolis benda-benda matematis.

Pengertian bentuk aljabar
Bentuk-Bentuk seperti 2a , -5b, x3, 3p + 2q disebut bentuk aljabar.Pada bentuk aljabar 2a, 2 disebut koefisien, sedangkan a disebut variabel( peubah ).

Bentuk-bentuk aljabar
Persamaan dan pertidaksamaan linear
§  Persamaan Linear Satu Variabel
Persamaan Linear Satu Variabel berarti persamaan pangkat satu. Pada persamaan linear ini berlaku hukum :
7.   Ruas kiri dan ruas kanan dapat ditambahkan atau dikurangi bilangan yang sama
8.   Ruas kiri dan ruas kanan dapat dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama.
Contoh :
   r:10
1. r + 3 = 10.
  r + 3 - 3 = 10 - 3 (sama sama dikurangi dengan bilangan yang sama yaitu 3)
  r = 7
2. 3p = 12
  3p / 3 = 12/3 (sama-sama dibagi dengan bilangan yang sama yaitu 3)
  p = 4
§  Pertidaksamaan Linear satu variabel
Pertidaksamaan linear satu variabel berarti kalimat terbuka yang memiliki tanda <,>, Pada persamaan linear berlaku hukum:
10. Ruas Kiri dan kanan dapat ditambah, dikurangi, dikali, atau dibagi bilangan yang sama
11. jika variabel bertanda minus, harus diganti menjadi positif dengan mengali bilangan negatif dan membalikan tanda
contoh : 1. 5v - 7 > 23
  5v - 7 + 7 > 23 + 7
  5v / 5 > 30 / 5
  v > 6
2. -2a < 10
  -2a / -2 > 10 / -2
  a > -5\
3. -2a < 10
  -2a / -2 > 10 / -2
  a > -5\

Diposkan 9th August 2012 oleh bryan thosuly
0

Tambahkan komentar

                       
9

LOGARITMA

    Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan.
Rumus dasar logaritma:
bc= a ditulis sebagai blog a = c (b disebut basis)
Beberapa orang menuliskan blog a = c sebagai logba = c.

Rumus

Logaritma

ac = b → ª log b = c


a = basis


b = bilangan yang dilogaritma


c = hasil logaritma


Sifat-sifat Logaritma


ª log a = 1


ª log 1 = 0


ª log aⁿ = n


ª log bⁿ = n • ª log b


ª log b • c = ª log b + ª log c


ª log b/c = ª log b – ª log c


ªˆⁿ log b m = m/n • ª log b


ª log b = 1 ÷ b log a


ª log b • b log c • c log d = ª log d


ª log b = c log b ÷ c log a




Kegunaan logaritma

Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. Turunannya mudah dicari dan karena itu logaritma sering digunakan sebagai solusi dari integral. Dalam persamaan bn = xb dapat dicari dengan pengakarann dengan logaritma, dan x dengan fungsi eksponensial.

Sains dan teknik

Dalam sains, terdapat banyak besaran yang umumnya diekspresikan dengan logaritma. Sebabnya, dan contoh-contoh yang lebih lengkap, dapat dilihat di skala logaritmik.
§  Negatif dari logaritma berbasis 10 digunakan dalam kimia untuk mengekspresikan konsentrasi ion hidronium (pH). Contohnya, konsentrasi ion hidronium pada air adalah 10−7 pada suhu 25 °C, sehingga pH-nya 7.
§  Satuan bel (dengan simbol B) adalah satuan pengukur perbandingan (rasio), seperti perbandingan nilai daya dan tegangan. Kebanyakan digunakan dalam bidang telekomunikasi, elektronik, dan akustik. Salah satu sebab digunakannya logaritma adalah karena telinga manusia mempersepsikan suara yang terdengar secara logaritmik. Satuan Bel dinamakan untuk mengenang jasa Alexander Graham Bell, seorang penemu di bidang telekomunikasi. Satuan desibel (dB), yang sama dengan 0.1 bel, lebih sering digunakan.
§  Skala Richter mengukur intensitas gempa bumi dengan menggunakan skala logaritma berbasis 10.
§  Dalam astronomi, magnitu yang mengukur terangnya bintang menggunakan skala logaritmik, karena mata manusia mempersepsikan terang secara logaritmik.


  Penghitungan yang lebih mudah
Logaritma memindahkan fokus penghitungan dari bilangan normal ke pangkat-pangkat (eksponen). Bila basis logaritmanya sama, maka beberapa jenis penghitungan menjadi lebih mudah menggunakan logaritma::
Penghitungan dengan angka
Penghitungan dengan eksponen
Identitas Logaritma
Sifat-sifat di atas membuat penghitungan dengan eksponen menjadi lebih mudah, dan penggunaan logaritma sangat penting, terutama sebelum tersedianya kalkulator sebagai hasil perkembangan teknologi modern.
Untuk mengkali dua angka, yang diperlukan adalah melihat logaritma masing-masing angka dalam tabel, menjumlahkannya, dan melihat antilog jumlah tersebut dalam tabel. Untuk mengitung pangkat atau akar dari sebuah bilangan, logaritma bilangan tersebut dapat dilihat di tabel, lalu hanya mengkali atau membagi dengan radix pangkat atau akar tersebut.

 Kalkulus
turunan fungsi logaritma adalah
dimana ln adalah logaritma natural, yaitu logaritma yang berbasis e. Jika b = e, maka rumus di atas dapat disederhanakan menjadi
integral fungsi logaritma adalah
Integral logaritma berbasis e adalah
Sebagai contoh carilah turunan


Penghitungan nilai logaritma
Nilai logaritma dengan basis b dapat dihitung dengan rumus dibawah ini.
Sedangkan untuk logaritma berbasis e dan berbasis 2, terdapat prosedur-prosedur yang umum, yang hanya menggunakan penjumlahan, pengurangan, pengkalian, dan pembagian.

Diposkan 9th August 2012 oleh bryan thosuly
1

Lihat komentar

                       
9

TRIGONOMETRI

Trigonometri merupakan alat utama ilmu ukur segitiga. Tigonometri memiliki banyak aplikasi pada kehidupan sehari-hari, diantaranya pada bidang teknik sipil dan astronomi.   Trigonometri memiliki kaitan yang sangat erat dalam kehidupan kita, baik secara langsung dan tidak langsung. Ilmu perbintangan dan konstruksi bangunan sangat dibantu oleh hadirnya trigonometri. Seiring perkembangan jaman, trigonometri terus dikempangan, dipadukan dengan disiplin kelimuan lain guna kemaslahatan bersama. Sebagai bagian dari rentetan artikel tentang 
aplikasi matematika dalam kehidupan sehari-hari, artikel ini disusun.
 Awalnya trigonometri hadir sebagai solusi atas pemecahan ukuran atas bangun datar-bangun datar sederhana, seiring berkembangnya zaman trignometri kerap digunakan dalam dunia ilmu terapan (kehidupan sehari-hari), perkembangan ilmu lain, maupun perkambangan ilmu matematika itu sendiri. Di bawah ini, saya akan mencoba memberikan contoh tentang aplikasi trigonometri dalam kehidupan sehari-hari, adapun aplikasinya adalah:

1. Aplikasi Trigononomerti Pada Ilmu Astronomi
Trigonometri sangat besar manfaatnya dalam ilmu astronomi, karena ukuran benda-benda langit tidak mungkin diukur pakaipenggari, pasti dihutug dengan bermain skala-skala dan sudut-sudut, sehingga dapat diestimasi ukurannya secara akurat. Rumus trigonometri sudut ganda digunakan untuk nilai-nilai ukuran sisi akibat sudut-sudut yang tidak istimewa. Meskipun pemnggunaan kalkulator diijinkan dalam penelitian, namun kalkulator umumnya tidak mampu menganani kasus numeris yang membutuhkan ketelitian tinggi. Karena dalam beberapa kasus numeris, perlakuan tanpa pembulatan adalah metode terbaik.
2. Aplikasi Trigonometri Para Perkembangan Ilmu Teknik Sipil () 
Selain di bidang ilmu astronomi, trigonometri juga sangat erat kaitannya dengan pekerjaan seorang surveyor (ahli ilmu ukur tanah). Pengukuran tanahadalah suatu cabang ilmu alam untuk menentukan posisi ruang dimensi tiga dari suatu tempat pada permukaan bumi. Hasil pengukuran tanah yang diperleh antara lain digunakan untuk membuat peta topografi dari bumi untuk menentukan luas wilayah suatu daerah. Dalam sistem undang-undang agraria zaman sekarang, koordinat eksak batas negara adalah suatu hal yang sangat penting agar batas negara tidak bergeser, seperti yang sering diangkat di media.
Para 
engineer, khusunya ahli sipil, lebih khususnya lagi ahli geodesi, sangat bergantung pada seorang surveyor. Ketika seorang insinyur membuat perencanaan pembangunan suatu proyek, seperti pembangunan jalan raya, jembatan, bendungan, gedung bertingkat, dll peran surveyor sangat diperlukan. Mirip kalitannya dengan ahli dosimetri dengan dokter spesialis penyakit onkologi. Seorang suveyor juga harus mempersiapkan untuk input data mengenai permukaan bumi dan tanah, setelah itu data diinput pada suatu sistem informasi yang diberi naman GIS (Geographical Information System). Tidak jarang pengamatan untuk menghitung kemingan jalan raya, rel kereta api, dan jembatan, Keahlian trigonometri seorang surveyor sangat mempermudah pekerjaannya sehingga beliau tak perlu terjun langsung ke medan-medan sulit.
3. Aplikasi Trigonometri pada Geografi dan NavigasiTabel trigonometri diciptakan lebih dari dua ribu tahun yang lalu untuk perhitungan dalam astronomi. Bintang-bintang dianggap tetap pada bola kristal dengan ukuran besar, dan model yang sempurna untuk tujuan praktis. Hanya planet berpindah bola. (Pada saat itu ada tujuh planet yang diakui: Merkurius, Venus, Mars, Jupiter, Saturnus, bulan, dan matahari Mereka adalah planet-planet yang kita beri nama hari-hari kami dalam seminggu sesudah Bumi tersebut belum dianggap sebagai.. sebuah planet karena itu adalah pusat alam semesta, dan planet-planet luar tidak ditemukan kemudian) jenis trigonometri yang diperlukan untuk memahami posisi pada bola disebut trigonometri bola.. Trigonometri bola jarang diajarkan sekarang karena tugasnya telah diambil alih oleh aljabar linear. Meskipun demikian, satu aplikasi dari trigonometri adalah astronomi. Seperti bumi juga bola, trigonometri digunakan dalam geografi dan navigasi. Ptolemy (100-178) yang digunakan trigonometri pada geografi dan menggunakan tabel trigonometri dalam karya-karyanya. Columbus membawa salinan dari Regiomontanus ‘Ephemerides Astronomicae pada perjalanan ke Dunia Baru dan menggunakannya untuk keuntungannya.

4. 
Aplikasi matematika pada teknik kimiaMeskipun trigonometri yang pertama kali diterapkan pada bola, namun ia telah aplikasi yang lebih besar untuk pesawat. Surveyor telah menggunakan trigonometri yang selama berabad-abad. Insinyur, baikinsinyur militer dan sebaliknya, telah menggunakan trigonometri yanghampir sepanjang.Fisika meletakkan tuntutan berat pada trigonometri. Optik dan statika, dua bidang awal fisika yang menggunakan trigonometri, tapi semua cabang trigonometri yang penggunaan fisika sejak bantu trigonometri yang dalam ruang pemahaman. Bidang terkait seperti kimia fisiksecara alami menggunakan trigonometri.
Demikian  aplikasi trigika pada Teknik metri dalam kehidupan sehari-hari, sementara hanya ini yang saya ketahui, semoga dengan menulis ini dapat meningkatkan pemahaman kita tentang aplikasi trigonometri
Saya harapkan anda juga membaca 
Aplikasi Kalkulus dalam Kehidupan Sehari-hari dan, Aplikasi Ilmu peluang dalam kehidupan Sehari-hari 
Artikel tentang aplikasi trigonometri masih dalam status rintisan, anda dapat membantu saya mengembangkannya. (Quotes dari Wikipedia)
Diposkan 9th August 2012 oleh bryan thosuly
0

Tambahkan komentar

Memuat
Template Dynamic Views. Diberdayakan oleh Blogger.

0 komentar:

Posting Komentar

Template by:

Free Blog Templates